29.3 KB · ⇊ 8 parts · ⤓ Micron 29.3 KB · ⤓ HTML 157.8 KB

top

In der Physik beschreibt die Dispersionsrelation (lat. dispergere ‚verteilen', ‚ausbreiten', ‚zerstreuen') den Zusammenhang zwischen dem Ablauf eines physikalischen Prozesses (Frequenz, Energie) und den Eigenschaften der ihn beschreibenden Größen (Wellenzahl, Brechungsindex, Ausbreitungsgeschwindigkeit, Impuls).

Mathematisch ist die Dispersionsrelation die Beziehung zwischen der Kreisfrequenz ω ω {\displaystyle \omega } und der Kreiswellenzahl k {\displaystyle k} . Sie wird aus der linearen Wellengleichung durch eine Fouriertransformation in Raum und Zeit gewonnen und hat die Formcite-ref-1[1]

ω ω = Ω Ω ( k ) {\displaystyle \omega =\Omega (k)} .

Im einfachsten Fall sind Kreisfrequenz und Kreiswellenzahl stets proportionalcite-ref-2[2]

ω ω = v Phase ⋅ ⋅ k {\displaystyle \omega =v_{\text{Phase}}\cdot k} ,

mit der konstanten Phasengeschwindigkeit v Phase = ω ω k {\displaystyle v_{\text{Phase}}={\frac {\omega }{k}}} . In diesem Fall gibt es keine Dispersion.

Die Geschwindigkeit eines Wellenpakets ist dagegen die Gruppengeschwindigkeit v Gruppe = d Ω Ω d k {\displaystyle v_{\text{Gruppe}}={\frac {\mathrm {d} \Omega }{\mathrm {d} k}}} oder im dreidimensionalen Fallcite-ref-3[3] v → → Gruppe = d Ω Ω d k → → {\displaystyle {\vec {v}}_{\text{Gruppe}}={\frac {\mathrm {d} \Omega }{\mathrm {d} {\vec {k}}}}} .

Ein Wellenpaket besteht aus Wellen verschiedener Frequenzen, die unterschiedliche Phasengeschwindigkeiten haben können. Daher läuft ein Wellenpaket im Allgemeinen auseinander. Wellenpakete, die aufgrund nichtlinearer Effekte trotz Dispersion nicht auseinanderlaufen, werden als Solitonen bezeichnetcite-ref-4[4].

• Optik

• Teilchenphysik und Materiewellen

• Festkörperphysik

• Beispiele von Dispersionsrelationen

• Elektronen im Festkörper (Bandstruktur)

• Plasmonen (Kollektive Schwingungen in einem Plasma)

• Schwerewellen auf einem Meer endlicher Tiefe

• Tiefwasserwellen

• Seichtwasserwellen

• Schwerewellen unter dem Einfluss von Oberflächenspannung

• Schwerewellen unter dem Einfluss von Oberflächenspannung und Tiefe

• Elastische Wellen in isotropen Medien

• Biegewellen in Stäben

• Querwellen in Drähten (Saiten)

• Torsionsschwingungen eines Stabes

• Hörbare Schallwellen

• Literatur

• Einzelnachweise

Die Dispersionsrelation der Optik als Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in nichtleitenden Mediencite-ref-5[5] lautet:

ω ω = 1 μ μ ε ε k = Ω Ω ( k ) {\displaystyle \omega ={\frac {1}{\sqrt {\mu \varepsilon }}}\,k=\Omega (k)}

mit der Permittivität ε ε {\displaystyle \varepsilon } und der Permeabilität μ μ {\displaystyle \mu } . Die Phasengeschwindigkeit von Licht in einem Medium beträgt

v Phase = ω ω k = 1 μ μ ε ε = c n ( ω ω ) = c M {\displaystyle v_{\text{Phase}}={\frac {\omega }{k}}={\frac {1}{\sqrt {\mu \varepsilon }}}={\frac {c}{n(\omega )}}=c_{\text{M}}}

mit der der Vakuumlichtgeschwindigkeit c {\displaystyle c} . Der (komplexe) Brechungsindex n {\displaystyle n} tritt in Abhängigkeit der Kreisfrequenz ω ω {\displaystyle \omega } auf:

n ( ω ω ) = μ μ μ μ 0 ε ε ε ε 0 und c = 1 μ μ 0 ε ε 0 {\displaystyle n(\omega )={\sqrt {{\frac {\mu }{\mu _{0}}}\,{\frac {\varepsilon }{\varepsilon _{0}}}}}\quad {\text{und }}c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}}

mit der elektrischen Feldkonstante ε ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} und der magnetischen Feldkonstante μ μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} . Die Gruppengeschwindigkeitcite-ref-6[6]

v Gruppe = d Ω Ω d k = c n ( ω ω ) + ω ω d n d ω ω {\displaystyle v_{\text{Gruppe}}={\frac {\mathrm {d} \Omega }{\mathrm {d} k}}={\frac {c}{n(\omega )+\omega {\frac {\mathrm {d} n}{\mathrm {d} \omega }}}}}

kann je nach Vorzeichen von d n d ω ω {\displaystyle {\textstyle {\frac {\mathrm {d} n}{\mathrm {d} \omega }}}} deutlich von der Phasengeschwindigkeit abweichen. Normale Dispersion liegt für d n d ω ω > 0 {\displaystyle {\textstyle {\frac {\mathrm {d} n}{\mathrm {d} \omega }}}>0} vor und anomale Dispersion für d n d ω ω < 0 {\displaystyle {\textstyle {\frac {\mathrm {d} n}{\mathrm {d} \omega }}}<0} .

Da die Frequenz immer in Zusammenhang mit der Energie steht

ω ω = E ℏ ℏ {\displaystyle \omega ={\frac {E}{\hbar }}}

und die Wellenzahl (bzw. der Wellenvektor) mit dem Impulscite-ref-7[7] p {\displaystyle p}

k → → = p → → ℏ ℏ , {\displaystyle {\vec {k}}={\frac {\vec {p}}{\hbar }},}

bezeichnet man die Energie-Impuls-Beziehungen der Teilchenphysik auch als Dispersionsrelation (oder Dispersionsbeziehung) der Materiewelle, z. B. bei freien Elektronen im nicht-relativistischen Grenzfall:

E = p 2 2 m ⇒ ⇒ ℏ ℏ ω ω = ℏ ℏ 2 k 2 2 m ⇔ ⇔ ω ω = ℏ ℏ 2 m k 2 = Ω Ω ( k ) , {\displaystyle {\begin{aligned}&&E&={\frac {p^{2}}{2m}}\\\Rightarrow &&\hbar \,\omega &={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\\\Leftrightarrow &&\omega &={\frac {\hbar }{2m}}k^{2}=\Omega (k),\end{aligned}}}

wobei ℏ ℏ {\displaystyle \hbar } die reduzierte Planck-Konstante und m {\displaystyle m} die Masse des Teilchens bezeichnetcite-ref-8[8]. Die Phasengeschwindigkeit der Materiewelle eines freien Teilchens beträgtcite-ref-9[9]

v Phase = ω ω k = ℏ ℏ k 2 m {\displaystyle v_{\text{Phase}}={\frac {\omega }{k}}={\frac {\hbar k}{2m}}}

und die Gruppengeschwindigkeitcite-ref-10[10]:

v Gruppe = d Ω Ω d k = ℏ ℏ k m = 2 ⋅ ⋅ v Phase {\displaystyle v_{\text{Gruppe}}={\frac {\mathrm {d} \Omega }{\mathrm {d} k}}={\frac {\hbar k}{m}}=2\cdot v_{\text{Phase}}}

Das Ergebnis erlaubt die klassische Beschreibung des freien Teilchens mit einer minimalen Ortsunschärfe Δ Δ x {\displaystyle \Delta x} mit der Geschwindigkeit v Gruppe = v = p / m {\displaystyle v_{\text{Gruppe}}=v=p/m} in den Fällen, in denen mit der Impulsunschärfe Δ Δ p = h Δ Δ v Gruppe {\displaystyle \Delta p=h\Delta v_{\text{Gruppe}}} aus der Heisenbergsche Unschärferelation Δ Δ x ⋅ ⋅ Δ Δ p ≥ ≥ h {\displaystyle \Delta x\cdot \Delta p\geq h} folgt, dass Δ Δ x ≥ ≥ h / m Δ Δ v Gruppe {\displaystyle \Delta x\geq h/m\Delta v_{\text{Gruppe}}} istcite-ref-11[11].

In der Festkörperphysik wird die Dispersion als Zusammenhang zwischen Energie bzw. Kreisfrequenz und Wellenzahl eines Teilchens oder Quasiteilchens angegeben. In Festkörpern wird dabei einerseits den Phononen (Gitterschwingungen des Atomgitters) eine Phononen-Dispersionsrelation zugeordnetcite-ref-12[12], andererseits kann den Elektronen eine Elektronen-Dispersionsrelation zugeordnet werden, die mit Hilfe der Bandstruktur beschrieben wirdcite-ref-13[13]cite-ref-14[14].

In einem Kristall mit periodischer Gitterstruktur kann die Dispersionsrelation für Elektronen durch eine Bandstruktur beschrieben werdencite-ref-15[15]:

E ( k ) = E 0 + ℏ ℏ 2 k 2 2 m ∗ ∗ = ℏ ℏ ω ω bzw. ω ω = ω ω 0 + ℏ ℏ k 2 2 m ∗ ∗ {\displaystyle E(\mathbf {k} )=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m^{*}}}=\hbar \omega \quad {\text{bzw. }}\omega =\omega _{0}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m^{*}}}}

wobei m ∗ ∗ {\displaystyle m^{*}} die effektive Masse des Elektrons ist.

Für Plasmonen als longitudinale Plasmaschwingungen ist die Dispersionsrelationcite-ref-16[16]:

ω ω = ω ω p 2 + c 2 k 2 {\displaystyle \omega ={\sqrt {\omega _{p}^{2}+c^{2}k^{2}}}}

wobei c {\displaystyle c} die Lichtgeschwindigkeit und ω ω p = 4 π π n e e 2 / m e {\displaystyle \omega _{p}={\sqrt {4\pi n_{e}e^{2}/m_{e}}}} die Plasmafrequenz ist, gebildet aus der Elektronendichte n e {\displaystyle n_{e}} , der Elektronenladung e {\displaystyle e} und der Elektronenmasse m e {\displaystyle m_{e}} .

Für Meereswellen als Schwerewellen lautet die Dispersionsrelation nachcite-ref-17[17]

ω ω = Ω Ω ( k ) = g k tanh ⁡ ⁡ ( k h ) mit tanh ⁡ ⁡ ( k h ) = 1 2 e k h − − e − − k h e k h + e − − k h {\displaystyle \omega =\Omega (k)={\sqrt {gk\tanh(kh)}}\qquad {\text{mit }}\tanh(kh)={\frac {1}{2}}{\frac {{\text{e}}^{kh}-{\text{e}}^{-kh}}{{\text{e}}^{kh}+{\text{e}}^{-kh}}}}

mit der Schwerebeschleunigung g {\displaystyle g} und der Wassertiefe h {\displaystyle h} . Die Funktion

Für Tiefwasserwellen gilt k h ≫ ≫ 1 {\displaystyle kh\gg 1} und damit tanh ⁡ ⁡ ( k h ) ≈ ≈ 1 {\displaystyle \tanh(kh)\approx 1} . Für diese Wellen nähert sich die Dispersionsrelation zucite-ref-kuhlmann145-18-0[18]

ω ω = g k {\displaystyle \omega ={\sqrt {gk}}}

mit der Schwerebeschleunigung g {\displaystyle g} und der Wellenzahl k {\displaystyle k} .

Für Seichtwasserwellen der Tiefe h {\displaystyle h} gilt k h ≪ ≪ 1 {\displaystyle kh\ll 1} und damit tanh ⁡ ⁡ ( k h ) ≈ ≈ ( k h ) {\displaystyle \tanh(kh)\approx (kh)} . Für diese Oberflächenwellen beträgt die Dispersionsrelationcite-ref-kuhlmann145-18-1[18]

ω ω = g k tanh ⁡ ⁡ ( k h ) ≈ ≈ g k k h = g h k {\displaystyle \omega ={\sqrt {gk\tanh(kh)}}\approx {\sqrt {gk\,kh}}={\sqrt {gh}}\,k}

mit der Schwerebeschleunigung g {\displaystyle g} und der Wellenzahl k {\displaystyle k} . Damit sind sowohl die Phasengeschwindigkeit v Ω Ω {\displaystyle v_{\Omega }} und die Gruppengeschwindigkeit v g {\displaystyle v_{g}} konstant:

v Ω Ω = ω ω k = g h und v g = d ω ω d k = g h {\displaystyle v_{\Omega }={\frac {\omega }{k}}={\sqrt {gh}}\quad {\text{und}}\quad v_{g}={\frac {{\text{d}}\omega }{{\text{d}}k}}={\sqrt {gh}}}

Im Gegensatz zu Sturmwellen, bei denen die Wasserschichten ab einer Tiefe von etwa 200 m unbewegt bleiben, wird bei einem Tsunami das gesamte Wasservolumen vom Meeresboden bis zur Oberfläche in Bewegung gesetzt. Auf dem offenen Meer können Tsunamis Wellenlängen von 100 bis 300 km erreichen, in seltenen Fällen sogar bis zu 500 km. Die Wellenzahlen k = 2 π π / λ λ {\displaystyle k=2\pi /\lambda } reichen dabei von 6,3 ⋅ ⋅ 10 − − 5 m − − 1 {\displaystyle {\text{6,3}}\cdot 10^{-5}{\text{ m}}^{-1}} bis 10 − − 5 m − − 1 {\displaystyle 10^{-5}{\text{ m}}^{-1}} . Selbst in Ozeanen mit einer Tiefe von etwa h = 5.000 m {\displaystyle h=5.000\,{\text{m}}} ist das Produkt k h {\displaystyle kh} maximal k h ∼ ∼ 0,3 < 1 {\displaystyle kh\sim {\text{0,3}}<1} . Tsunamis sind also vom Verhalten her Seichtwasserwellen, die Geschwindigkeiten von

v g = d ω ω d k = g h = 9,81 ⋅ ⋅ 5.000 m/s = 220 m/s = 800 km/h . {\displaystyle v_{g}={\frac {{\text{d}}\omega }{{\text{d}}k}}={\sqrt {gh}}={\sqrt {{\text{9,81}}\cdot 5.000}}\,{\text{m/s}}=220\,{\text{m/s}}=800\,{\text{km/h}}.}

erreichen – fast die Geschwindigkeit eines Jumbo-Jets!

Berücksichtigt man bei den Meereswellen zusätzlich die Kapillarwellen, so erweitert sich die Dispersionsrelation zucite-ref-19[19]

ω ω = Ω Ω ( k ) = g k + σ σ k 3 ρ ρ {\displaystyle \omega =\Omega (k)={\sqrt {gk+{\frac {\sigma k^{3}}{\rho }}}}}

Dabei ist σ σ {\displaystyle \sigma } die Oberflächenspannung und ρ ρ {\displaystyle \rho } die Dichte des Wassers.

Betrachtet man Meereswellen als Schwerewellen unter dem Einfluss von Oberflächenspannung und Tiefe, so ergänzt sich die Dispersionsrelation zucite-ref-20[20]

ω ω = ( g k + σ σ k 3 ρ ρ ) tanh ⁡ ⁡ ( k h ) {\displaystyle \omega ={\sqrt {\left(gk+{\frac {\sigma k^{3}}{\rho }}\right)\tanh(kh)}}}

Dabei ist σ σ {\displaystyle \sigma } die Oberflächenspannung und ρ ρ {\displaystyle \rho } die Dichte des Wassers.

In isotropen Festkörpern existieren zwei Arten von elastischen Wellen mit ihren entsprechenden Dispersionsrelationen:

• Longitudinalwellen (P-Wellen)cite-ref-21[21]:

ω ω = c L k , c L = λ λ + 2 μ μ ρ ρ = K + 4 3 μ μ ρ ρ {\displaystyle \omega =c_{L}k,\quad c_{L}={\sqrt {\frac {\lambda +2\mu }{\rho }}}={\sqrt {\frac {K+{\frac {4}{3}}\mu }{\rho }}}}

• Transversalwellen (S-Wellen)cite-ref-22[22]:

ω ω = c T k , c T = μ μ ρ ρ {\displaystyle \omega =c_{T}k,\quad c_{T}={\sqrt {\frac {\mu }{\rho }}}}

Hierbei sind λ λ {\displaystyle \lambda } und μ μ {\displaystyle \mu } die Lamé-Konstanten und K = λ λ + 2 3 μ μ {\displaystyle K=\lambda +{\textstyle {\frac {2}{3}}}\mu } der Kompressionsmodul.

Für Schwingungen transversal in Richtung x {\displaystyle x} für Biegewellen, die sich in einem dünnen Stab in Richtung z {\displaystyle z} ausbreiten, giltcite-ref-23[23]:

ω ω = β β k 2 , mit β β = E I y ρ ρ A {\displaystyle \omega =\beta \ k^{2},\quad {\text{mit}}\quad \beta ={\sqrt {\frac {EI_{y}}{\rho A}}}}

wobei:

E {\displaystyle E} der Elastizitätsmodul ist,

I y {\displaystyle I_{y}} das axiale Flächenträgheitsmoment ist,

A {\displaystyle A} die Querschnittsfläche ist.

Die Frequenz oder Dispersionsrelation ist also proportional zum Quadrat des Wellenvektors. In einem unbegrenzten Medium hängt sie linear vom Wellenvektor ab.

Die Dispersionsrelation für Torsionswellen in einem zylindrischen Stab lautetcite-ref-24[24]:

ω ω = k σ σ ρ ρ {\displaystyle \omega =k{\sqrt {\frac {\sigma }{\rho }}}}

wobei σ σ {\displaystyle \sigma } die Spannung des Drahtes ist.

Torsionswellen in einem zylindrischen Stab folgen der Dispersionsrelationcite-ref-25[25]:

ω ω = k G ρ ρ = k μ μ ρ ρ {\displaystyle \omega =k{\sqrt {\frac {G}{\rho }}}=k{\sqrt {\frac {\mu }{\rho }}}}

wobei G {\displaystyle G} der Schubmodul ist, bzw. μ μ {\displaystyle \mu } die zweite Lamé-Konstante.

Hörbare Schallwellen sind ein weiteres Beispiel für dispersionsfreie Wellen, da die Dispersionsrelation linear vom Wellenvektor abhängtcite-ref-26[26]:

ω ω = k γ γ p ρ ρ {\displaystyle \omega =k{\sqrt {\gamma {\frac {p}{\rho }}}}}

bei einem Gasdruck p {\displaystyle p} mit der Dichte ρ ρ {\displaystyle \rho } und dem Adiabatenexponent γ γ {\displaystyle \gamma } .

• Dieter Meschede: Optik, Licht und Laser. Springer-Verlag, 2015, ISBN 3-663-10954-2, S. 29 f.

• Dispersionsrelation. In: Ulrich Kilian u. Christine Weber (Hrsg.): Lexikon der Physik. Spektrum Akademischer Verlag, 2003, ISBN 978-3-86025-296-3 (spektrum.de).

• Dispersionsrelation. In: Harry Paul (Hrsg.): Lexikon der Optik. Spektrum Akademischer Verlag, 1999, ISBN 978-3-8274-0382-7 (spektrum.de).

cite-note-11. ↑ Kip S. Thorne, Roger D. Blandford: Modern Classical Physics - Optics, Fluids, Plasmas, Elasticity, Relativity, and Statistical Physics. 1. Auflage. Princeton University Press, Princeton 2017, ISBN 0-691-15902-5, S. 353.

cite-note-22. ↑ Kip S. Thorne, Roger D. Blandford: Modern Classical Physics - Optics, Fluids, Plasmas, Elasticity, Relativity, and Statistical Physics. 1. Auflage. Princeton University Press, Princeton 2017, ISBN 0-691-15902-5, S. 352.

cite-note-33. ↑ Kip S. Thorne, Roger D. Blandford: Modern Classical Physics - Optics, Fluids, Plasmas, Elasticity, Relativity, and Statistical Physics. 1. Auflage. Princeton University Press, Princeton 2017, ISBN 0-691-15902-5, S. 355.

cite-note-44. ↑ David J. Barber, R. Loudon: An Introduction to the Properties of Condensed Matter. 1. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 1989, ISBN 978-0-521-26907-0, S. 217.

cite-note-55. ↑ John David Jackson: Klassische Elektrodynamik. 5. Auflage. de Gruyter, Berlin 1981, ISBN 3-11-008074-5, S. 342.

cite-note-66. ↑ John David Jackson: Klassische Elektrodynamik. 5. Auflage. de Gruyter, Berlin 1981, ISBN 3-11-008074-5, S. 376.

cite-note-77. ↑ Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantum Mechanics, Volume 1 : Basic Concepts, Tools, and Applications. John Wiley & Sons, Kassel 2021, ISBN 0-471-16432-1, S. 11.

cite-note-88. ↑ Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantum Mechanics, Volume 1 : Basic Concepts, Tools, and Applications. John Wiley & Sons, Kassel 2021, ISBN 0-471-16432-1, S. 22.

cite-note-99. ↑ Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantum Mechanics, Volume 1 : Basic Concepts, Tools, and Applications. John Wiley & Sons, Kassel 2021, ISBN 0-471-16432-1, S. 29.

cite-note-1010. ↑ Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantum Mechanics, Volume 1 : Basic Concepts, Tools, and Applications. John Wiley & Sons, Kassel 2021, ISBN 0-471-16432-1, S. 30.

cite-note-1111. ↑ Werner Heisenberg: Physikalische Prinzipien der Quantentheorie -. B. I.-Wissenschaftsverlag, Mannheim 1958, ISBN 3-411-00001-5, S. 10.

cite-note-1212. ↑ Neil W. Ashcroft, N. David Mermin: Solid State Physics -. 1. Auflage. Holt, Rinehart and Winston, Philadelphia 1976, ISBN 0-03-049346-3, S. 432.

cite-note-1313. ↑ Neil W. Ashcroft, N. David Mermin: Solid State Physics -. 1. Auflage. Holt, Rinehart and Winston, Philadelphia 1976, ISBN 0-03-049346-3, S. 140.

cite-note-1414. ↑ Neil W. Ashcroft, N. David Mermin: Solid State Physics -. 1. Auflage. Holt, Rinehart and Winston, Philadelphia 1976, ISBN 0-03-049346-3, S. 158.

cite-note-1515. ↑ Neil W. Ashcroft, N. David Mermin: Solid State Physics -. 1. Auflage. Holt, Rinehart and Winston, Philadelphia 1976, ISBN 0-03-049346-3, S. 214.

cite-note-1616. ↑ Frank S. jr., Crawford: Berkeley Physik Kurs 3 - Schwingungen und Wellen. 1. Auflage. Vieweg + Teubner, Braunschweig 1974, ISBN 978-3-322-90778-3, S. 53.

cite-note-1717. ↑ David J. Barber, R. Loudon: An Introduction to the Properties of Condensed Matter. 1. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 1989, ISBN 978-0-521-26907-0, S. 216.

cite-note-kuhlmann145-1818. ↑ Hendrik C. Kuhlmann: Strömungsmechanik -. Pearson Studium, München 2007, ISBN 978-3-8273-7230-7, S. 145.

cite-note-1919. ↑ Hendrik C. Kuhlmann: Strömungsmechanik -. Pearson Studium, München 2007, ISBN 978-3-8273-7230-7, S. 147.

cite-note-2020. ↑ Hendrik C. Kuhlmann: Strömungsmechanik -. Pearson Studium, München 2007, ISBN 978-3-8273-7230-7, S. 148.

cite-note-2121. ↑ Kip S. Thorne, Roger D. Blandford: Modern Classical Physics - Optics, Fluids, Plasmas, Elasticity, Relativity, and Statistical Physics. 1. Auflage. Princeton University Press, Princeton 2017, ISBN 0-691-15902-5, S. 637.

cite-note-2222. ↑ Kip S. Thorne, Roger D. Blandford: Modern Classical Physics - Optics, Fluids, Plasmas, Elasticity, Relativity, and Statistical Physics. 1. Auflage. Princeton University Press, Princeton 2017, ISBN 0-691-15902-5, S. 639.

cite-note-2323. ↑ L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik, Band 7, Elastizitätstheorie -. 4. Auflage. Akademie Verlag, Berlin 1975, S. 127.

cite-note-2424. ↑ Anton Hammer, Hildegard Hammer, Karl Hammer: Taschenbuch der Physik. 9. Auflage. Lindauer, München 2004, ISBN 3-87488-094-X, S. 83.

cite-note-2525. ↑ L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik, Band 7, Elastizitätstheorie -. 4. Auflage. Akademie Verlag, Berlin 1975, S. 130.

cite-note-2626. ↑ Frank S. jr., Crawford: Berkeley Physik Kurs 3 - Schwingungen und Wellen. 1. Auflage. Vieweg + Teubner, Braunschweig 1974, ISBN 978-3-322-90778-3, S. 160.